''Résolution minimax de problèmes de test d'hypothèses non-paramétriques''
Ghislaine Gayraud, Université de Rouen et CREST
On note f la fonction d'intérêt qui apparaît naturellement dans le modèle sous-jacent considéré. On étudie le problème de test d'hypothèses non-paramétriques deH0 contre l'hypothèse alternative H1. L'hypothèse nulle est caractérisée par une classe de fonctions donnée (cette dernière peut être paramétrique ou non-paramétrique), l'alternative composite et non-paramétrique est constituée de fonctions régulières f qui sont distantes en norme L2 de n'importe quel élément de H0. L'approche minimax est le point de vue adopté pour la résolution du problème de test: elle garantit une distance de séparation minimale (optimale) entre H0 et H1 pour laquelle les hypothèses H0 et H1 sont distinguables (au sens des risques de première et seconde espèce asymptotiquement bornés). Cette distance de séparation minimale est appelée vitesse minimax de test. Le cadre adaptatif du problème permet en particulier de fournir des procédures de test qui sont libres de tout paramètre de régularité. D'un point de vue pratique, le gain est incontestable, mais comme dans de nombreux cas en estimation, le cadre adaptatif engendre une perte d'efficacité dans la vitesse minimax de test.
Le mardi 9 juin 2009 à 10 h 45. Université Lille 3, Maison de la Recherche, salle 104.
Conférence de Jean-Christophe Yoccoz Professeur de mathématiques au Collège de France, membre de l'Académie des Sciences, médaille Fields 1994.
« Une erreur féconde du mathématicien Henri Poincaré »
mardi 12 mai 2009 à 18 h 00
Université Lille 3, bâtiment B, amphithéâtre G.
Cette conférence s'intègre à l'atelier "Les mathématiques dans la science contemporaine".
L'atelier se déroule les 12 et 13 prochains et prépare le colloque de décembre 2009 à Paris sur les "MATHS A VENIR".
"Robust estimation of intraweek periodicity in volatility and jump detection"
Sébastien Laurent (University of Namur and CORE)
Opening, lunch and closing of financial markets induce a periodic component in the volatility of high-frequency returns. We propose a non-parametric weighted standard deviation and parametric truncated maximum likelihood estimation procedure for the periodic component in volatility and show that they are robust to price jumps. We also show that robust periodicity estimates can be used to increase the accuracy of jump detection methods. We compare the classical and robust methods for the 5-minute EUR/USD returns. The robust intraweek periodicity estimates are lower than the classical ones on Tuesday-Friday 8:30-8:35 EST and Monday-Friday 10:00-10:05 EST. The higher values for the non-robust estimates are likely to be due to jumps. Accounting for the periodicity in the volatility of high-frequency returns is especially important to detect the relatively small jumps occurring at times for which volatility is periodically low and to reduce the number of spurious jump detections at times of periodically high volatility.
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"Outlyingness weighted quadratic covariation"
Kris Boudt (Katholic University of Leuven and Lessius University College)
Quadratic Covariation is a popular descriptive measure for the volatility of a multivariate price process. It is consistently estimated by the sum of outer products of high-frequency returns. This paper introduces the univariate and multivariate version of the Realized Outlyingness Weighted Quadratic Covariation (ROWQCov) as an estimator of the quadratic covariation of the continuous component of the price diffusion. The new estimator equals a weighted sum of outer products of high-frequency returns and downweights returns that, because of jumps or other reasons, are outliers under the Brownian semimartingale model. For this model, the ROWQCov is a more efficient estimator than the realized bipower covariation, which is very popular in the univariate case. The ROWQCov remains consistent when we allow for finite activity jumps. Moreover, it is affine equivariant and yields positive semidefinite matrices. We illustrate this method on 5-minute EUR/USD and GBP/USD return series.
Le mardi 14 avril 2009, 17 h 00 Sébastien Laurent et 17 h 30 Kris Boudt,
Université de Lille 3, Maison de la Recherche, salle 020.
"Testing linear causality in mean in presence of other forms of causality"
Hamdi Raissi (INSA Rennes)
We consider the test for linear causality in mean in the large set of processes given by Vector AutoregRessive (VAR) models with dependent but uncorrelated errors. We see that this framework allow to take into account the possible presence of causality in mean and/or causality in variance. We derive the Quasi Maximum Likelihood Estimator (QMLE). Using the asymptotic normality of the QMLE we propose various modified tests for testing the causality in mean in presence of dependent errors. We study the finite sample performances of the modified tests by mean of Monte Carlo experiments. An application to the daily returns of the exchange rates of U.S. Dollars (USD) to one British Pound and of USD to one New Zealand Dollar is proposed to illustrate the theoretical results.
Lundi 30 mars 2009 à 15h00, Université de Lille 3, Maison de la Recherche, salle 104.
"Global and local optimal estimation in nonparametric instrumental regression"
Jan Johannes (Universität Heidelberg)
Le mardi 17 février 2009 à 17h00, Université Lille 3, Maison de la Recherche, salle 104
We consider the estimation of the structural function (global) or of linear functional of it (local) in a nonparametric instrumental regression model by proposing a new type of projection estimators which combine dimension reduction and thresholding. The introduction of a threshold rule allows to get consistency under broad assumptions as well as minimax rates of convergence under additional regularity hypotheses. We also consider the particular case of Sobolev spaces generated by the trigonometric basis which permits to get easily mean squared error of estimators of the derivatives of the structural function. We show these estimators are minimax and rates of convergence are given for some particular cases.
''Large and moderate deviations principles for kernel estimators of the multivariate regression''
Baba Thiam, Université de Lille 3
Le jeudi 15 janvier 2009 à 16 h 00
Université de Lille 3, Maison de la Recherche, salle 020
In this paper, we prove large deviations principle for the Nadaraya-Watson estimator and for the semi-recursive kernel estimator of the regression in the multidimensional case. Under suitable conditions, we show that the rate function is a good rate function. We thus generalize the results already obtained in the one-dimensional case for the Nadaraya-Watson estimator.Moreover, we give a moderate deviations principle for these two estimators. It turns out that the rate function obtained in the moderate deviations principle for the semi-recursive estimator is larger than the one obtained for the Nadaraya-Watson estimator.
''Heteroskedastic Spatial Models with Applications in Computer Experiments''
Jay Breidt, Colorado State University and ENSAI
Le mercredi 17 décembre 2008 à 14 h 30,
Université de Lille 3, Maison de la Recherche, salle 104
We consider modeling a deterministic computer response as a realization from a stochastic heteroskedastic process (SHP), which incorporates a spatially-correlated volatility process into the traditional spatially-correlated Gaussian process (GP) model. Unconditionally, the SHP is a stationary non-Gaussian process, with stationary GP as a special case. Conditional on a latent process, the SHP is a non-stationary GP. The sample paths of this process offer more modeling flexibility than those produced by a traditional GP, and can better reflect prediction uncertainty. GP prediction error variances depend only on the locations of inputs, while SHP can reflect local inhomogeneities in a response surface through prediction error variances that depend on both input locations and output responses. We use maximum likelihood for inference, which is complicated by the high dimensionality of the latent process. Accordingly, we develop an importance sampling method for likelihood computation and use a low-rank kriging approximation to reconstruct the latent process. Responses at unobserved locations can be predicted using empirical best predictors or by empirical best linear unbiased predictors. Prediction error variances are also obtained. In examples with simulated and real computer experiment data, the SHP model is superior to traditional GP models
Travail en collaboration avec Ke Wang et Wenying Huang (Colorado State University) et Richard A. Davis (Columbia University).
''Tests de structure en régression sur variable fonctionnelle''
Laurent Delsol, Université Catholique de Louvain
Le mardi 16 décembre 2008 à 17 h 00,
Université de Lille 3, Maison de la Recherche, salle 104.
De très nombreux problèmes concrets font intervenir des phénomènes de nature fonctionnelle (courbes de croissance, courbes de température, cours d'une action, électrocardiogramme, courbes spectrométriques, enregistrements sonores, images...). Grâce aux récents progrès concernant les appareils de mesure ainsi que l'utilisation de moyens informatiques performants on peut maintenant collecter, stocker et traiter des données discrétisées sur des grilles assez fines qui reflètent la nature fonctionnelle des phénomènes étudiés. C'est pourquoi la branche de la statistique consacrée à l'étude de ce genre de données reçoit un intérêt croissant tant sur le plan théorique que pratique (voir par exemple Ramsay et Silverman, 1997, 2002, 2005, Bosq, 2000, et Ferraty et Vieu, 2006). Nous considérons dans cet exposé l'étude d'un modèle de régression de la forme $Y=r(X)+epsilon$ dans lequel on cherche à expliquer comment une variable d'intérêt réelle $Y$ dépend d'une variable fonctionnelle (i.e. à valeurs dans un espace de dimension infinie) $X$. Différentes méthodes d'estimation ont été proposées pour des modèles de ce type suivant les hypothèses que l'on fait sur le structure de l'opérateur de régression $r$ (linéarité : Ramsay et Dalzell, 1991, Cardot et al., 1999, Hall et Horowitz, 2008, Crambes et al., 2008 ; modèle à indice simple : Ait Saïdi, 2008 ; ...). Toutefois, il n'existait pas de résultat théorique permettant de tester si ces hypothèses structurelles sont vérifiées ou non. Dans le cas plus général où l'on fait seulement des hypothèses sur la régularité de $r$, l'estimation se fait généralement à l'aide d'estimateurs à noyaux fonctionnels (voir Ferraty et Vieu, 2006). L'objectif de cet exposé est de présenter une méthode générale pour construire des tests de structure. L'idée est d'adapter la méthodologie introduite par Härdle et Mammen (1993) dans le cas multivarié. Nous construisons notre statistique de test à partir de la comparaison de l'estimateur à noyau général et d'un estimateur spécifique au sous- modèle que l'on veut tester. Un résultat général (Delsol et al., 2008 ) montre la normalité asymptotique de notre statistique de test lorsque le modèle correspond au sous- modèle, ainsi que sa divergence sous l'alternative. Les hypothèses générales que nous utilisons permettent l'utilisation de ce résultats dans des situations très variées. Nous proposons ensuite différentes méthodes de rééchantillonnage permettant d'estimer la valeur seuil de notre test. Pour finir l'exposé, des simulations et des applications concrètes sont présentées afin de montrer l'efficacité et l'intérêt pratique de nos tests de structure.
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